加法定理の証明

 

              



円があって半径が1で角度βが点Q、角度αが点Pとしますよね。点の座標はcosθ=x/r よりx=rcosθ r=1だからx=cosθ sinθ=y/rよりy=rsinθ r=1なので

y=sinθ 点Qは角度βですから座標が(cosβ、sinβ)


点Pの座標は角度αなので(cosα、sinα)ですね。



余弦定理からPQ2=OP2+OQ2+2OP✕OQcos(α−β)

α−βがOPとOQの間の角度ですね。


ですから、OPとOQは半径1なので


PQ2=1'2+1'2−2✕1✕1✕cos(α−β)ですね。


ですから、PQ'2=2−2cos(α−β)なんですよ




2点間の距離の公式から


PQ'2=(cosβ−cosα)'2+(sinβ−sinα)'2なんです


PQ'2=cos'2β−2✕cosαcosβ+cos'2α+    

          sin'2β−2✕sinαsinβ+sin'2α


  =(cos'2β+cos'2α)+(sin'2α+sin'2β)

         −2(cosαcosβ+sinαsinβ)


  =2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)


2−2cos(α−β)=2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)


cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ


が導けるのだよ。



わかる?

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