正多角形の外周

 

                 


正八角形を三角形で等分すると図のようになるんですよ。360度の1/8は45度ですよね。円に内接してますから頂点を45度にした二等辺三角形ができますよね。rは円の半径で1です。三角形の底辺の合計が正八角形の外周になるんですよ。余弦定理から

l8i'2=r'2+r'2−2✕r✕r✕cos45°になりますよね?


 =2r'2−2·r'2cos45°


 =2r'2(1−cos45°)    


半角の公式のsinθ/2=(1−cosθ)/2より


l8i'2=4r'2·(1−cos45°)/2=4r'2sin'2·45°/2


l8i=2r·sin45°/2 

直線だからl8iは0より大きいですよね


l8iが正八角形だから8つありますから8倍して

正八角形の外周L8iは

L8i=8✕2r·sin45°/2


 =16r·sin45°/2

なんですよ。


コメント